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리스크는 변동성?

1999-11-8

기대수익율과 위험(Expected Rate of Return and Risk)

기대수익율은 미래의 투자안으로부터 얻을 수익율의 평균값입니다.

어떤 프로젝트가 호황일 때 어느 정도의 수익이 나고, 불황일 때 어느 정도의 수익이 나고, 보통은 어느 정도가 나는데, 호황, 불황, 보통의 확률이 각각 어떤 값을 가질 때 우리는 이 세가지 경우 모두를 통합한 기대값을 구할 수 있습니다. 그 값이 프로젝트를 수행했을 때 기대되는 평균적인 수익율, 기대수익율입니다.

 

리스크(risk)란 무엇일까요? 재무관리학에서 리스크는 미래수익율의 변동성입니다. 수익율의 변동이 크면 위험한 프로젝트입니다. 변동이 작으면 덜 위험한 것입니다. 수학적으로는 수익율 확률분포의 분산이나 표준편차입니다.

기대수익율을 E(r)이라고 할 때,

이 때 r은 수익율, p는 수익율 r이 발생할 확률입니다. 위험은 분산을 구하면 되므로,

1000을 투자했다면,

 

경기 확률 프로젝트 A 프로젝트 B 프로젝트 C
불황 0.2 950 950 900
보통 0.5 1200 1150 1190
호황 0.3 1200 1450 1250

 

수익율 r의 분포는,

 

경기 확률 프로젝트 A 프로젝트 B 프로젝트 C
불황 0.2 -5% -5% -10%
보통 0.5 20% 15% 19%
호황 0.3 20% 45% 25%

 

이므로 A,B,C 각각의 기대수익율은, (수익율 x 확률)을 모두 합하면 됩니다.

 

E(rA) = -5(0.2) + 20(0.5) + 20(0.3) = 15%
E(rB) = -5(0.2) + 15(0.5) + 45(0.3) = 20%
E(rC) = -10(0.2) + 19(0.5) + 25(0.3) = 15%

 

B가 제일 수익율이 좋습니다. 위험(분산)도 구해봅시다.

 

A의 분산 = (-5-15)2(0.2) + (20-15)2(0.5) + (20-15)2(0.3) = 100
B의 분산 = (-5-20)2(0.2) + (15-20)2(0.5) + (45-20)2(0.3) = 325
C의 분산 = (-10-15)2(0.2) + (19-15)2(0.5) + (25-15)2(0.3) = 163

위와 같이 확률분포를 아는 경우는 위험(risk)라 합니다. 확률분포조차 알지 못하는 경우는 불확실성(uncertainty)이라 합니다.

리스크에 대한 투자자의 태도

위험에 대한 투자자의 태도에는 크게 세 가지가 있습니다. 같은 기대수익율을 갖는 프로젝트에 대해서 위험이 증가하면 효용이 감소하는, 즉 위험한 것을 싫어하는 유형을 위험회피형(Risk Averse type)이라 합니다. 반대로 위험할수록 효용이 커지는 유형을 위험추구형(Risk seeking type)이라 합니다. 위험이 효용에 영향을 미치지 않는 유형은 위험중립형(Risk Neutral type)입니다. 세 유형을 그래프를 통해 봅시다.

 

리스크에 대한 투자자의 태도

수익율과 효용사이의 관계 그래프입니다. 원점에 대해서 오목하면 risk-averse입니다. 원점에 대해서 볼록하면 risk-seeking입니다. 왜 그럴까요?

 

확실성등가 

EU(x)는 효용의 기대값입니다. 수익이 x1일 경우의 효용인 U(x1)과 x2인 경우의 효용인 U(x2)의 평균입니다.
E(x)는 수익율의 기대값입니다. 그리고, 수익율의 기대값인 E(x)를 얻었을 때의 효용을 U(E(x))라고 하며 '기대치의 효용'이라고 합니다. 반대로 EU(x), 즉 효용의 평균(=기대값)에 해당하는 수익율을 CE(Certainty Equivalent, 확실성등가)라고 합니다. 확실성등가는 위험을 갖고 있는 현금흐름 대신 택할 수 있는 안전한 현금흐름입니다.

위 그래프에서 효용의 기대값인 EU(x)에 해당하는 수익율(그래프에서 a점)이 기대수익율 E(x)보다 작다는 것에 주목하세요. 어떤 프로젝트에서 얻을 기대수익율보다 더 적은 수익율에서 평균적으로 만족할 수 있다는 얘기입니다. 효용의 평균값에 해당하는 수익율이 프로젝트의 실제 기대수익율보다 더 작기 때문입니다. 그것이 확실성등가입니다. 위 그래프에서 a 포인트가 확실성등가입니다.

 

x1과 x2의 기대값보다 더 적은 수익율에도 안정적이기만 하다면 만족할 수 있는 것이므로 risk-averse입니다. 역으로 어떤 프로젝트의 기대수익율 E(x)보다 더 큰 수익이 예상되는 곳에 확실성등가 CE가 있는 사람은 사람은 risk-seeking입니다. 리스크가 있는 현금흐름 쪽을 택하는 것입니다. (현실적으로 이런 사람은 거의 없습니다. 기대수익율이 낮은데도 더 위험한 것을 택하는 사람은 없습니다.) 위 그래프를 다시 봅시다. 위로 볼록한 경우 CE가 E(x)의 왼쪽에 오게 되고, 반대로 아래로 볼록하면 CE가 E(x)보다 오른쪽에 위치합니다. 그래서 위로 볼록한 것이 위험회피형의 효용-수익율 곡선입니다.

그래프에서 살펴본 E(x)와 CE의 차를 위험프리미엄, 리스크프리미엄(risk premium)이라고 정의합니다. 정의대로, 안전한 현금흐름 대신 위험이 있는 현금흐름을 택할 때 받고자 하는 기대수익율의 차이입니다.

 

위험 프리미엄 = E(x) - CE

 

위험 프리미엄 값이 0보다 크다면, 즉 CE보다 E(x)가 더 크다면 위험회피형입니다. 합리적이라면 다 여기에 해당합니다. 0이면 risk-neutral입니다. 0보다 작으면 risk-seeking으로 정의할 수 있습니다.

 

더 큰 수익율을 기대하며 리스크를 안는 타입이 리스크추구형이 아닙니다. 같은 기대수익율인데도 더 위험이 큰 쪽을 선호하는 것입니다. 이런 유형은 거의 없습니다.

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